Číselné soustavy

Co jsou to číselné soustavy?

Číselná soustava je způsob, jakým zapisujeme čísla pomocí znaků (číslic). Zásadně je dělíme na dva typy:

Nepoziční soustavy	Poziční soustavy
Hodnota číslice je vždy stejná, ať stojí kdekoliv.	Hodnota číslice závisí na její pozici (řádu) v zápisu čísla.
Příklad: Římské číslice (I, V, X, L, C, M). Znak "X" znamená vždy 10, ať je v zápisu XX (20) nebo IX (9).	Příklad: Naše desítková soustava. Číslice "5" v čísle 51 znamená padesát, ale ve 105 znamená jen pět.
Těžko se v nich počítá (zkuste násobit římskými číslicemi).	Díky "pozicím" můžeme používat algoritmy pro sčítání a násobení pod sebou.

Základ poziční soustavy (Radix)

Základ soustavy nám říká, kolik různých znaků (číslic) soustava používá, a určuje "váhu" jednotlivých pozic (mocniny základu).

Desítková (Základ 10): Znaky 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Používají ji lidé (máme 10 prstů).
Dvojková / Binární (Základ 2): Znaky 0, 1. Používají ji počítače (tranzistor je vypnutý/zapnutý).
Šestnáctková / Hexadecimální (Základ 16): Znaky 0-9 a písmena A, B, C, D, E, F (kde A=10, F=15). Slouží pro zkrácení zápisu dlouhých binárních čísel (např. barvy v CSS: #FFFFFF).

Převod: Desítková ➔ Dvojková

Číslo postupně dělíme základem (číslem 2). Zapisujeme si celočíselné výsledky a zbytky. Postup opakujeme, dokud nedojdeme k nule. Výsledné binární číslo přečteme ze zbytků odspoda nahoru.

Příklad: Převeďte číslo 13₁₀ do binární soustavy.

13 : 2 = 6   (zbytek 1) ⬆
6 : 2 = 3    (zbytek 0) ⬆
3 : 2 = 1    (zbytek 1) ⬆
1 : 2 = 0    (zbytek 1) ⬆ (Čteme zespodu)

Výsledek: 1101₂

Převod: Dvojková ➔ Desítková

Každá pozice v binárním čísle má svou "váhu" (mocninu dvojky, zprava do leva: 1, 2, 4, 8, 16...). Vezmeme jedničky, vynásobíme je jejich váhou a vše sečteme.

Příklad: Převeďte číslo 1011₂ do desítkové soustavy.

Váhy pozic (zprava): 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8

Výpočet: (1 × 8) + (0 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1)
Výpočet: 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Procvičování: Dvojková soustava

Převod: Desítková ➔ Šestnáctková

Princip je úplně stejný jako u dvojkové, jen dělíme číslem 16. Zbytky větší než 9 musíme převést na písmena (10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F).

Příklad: Převeďte číslo 254₁₀ do hexadecimální soustavy.

254 : 16 = 15 (zbytek 14 = E) ⬆
15 : 16 = 0 (zbytek 15 = F) ⬆

Výsledek: FE₁₆

Převod: Šestnáctková ➔ Desítková

Opět stejný princip, ale násobíme mocninami 16 (zprava: 1, 16, 256...). Písmena převedeme na jejich číselnou hodnotu.

Příklad: Převeďte číslo 2A₁₆ do desítkové soustavy.

Váhy pozic: 16⁰=1, 16¹=16.
Znaky: A = 10, 2 = 2.

Výpočet: (2 × 16) + (10 × 1)
Výpočet: 32 + 10 = 42₁₀

Procvičování: Šestnáctková soustava

Přímý převod pomocí Nibblů (BIN ↔ HEX)

Dvojková a šestnáctková soustava mají k sobě velmi blízko. Platí totiž matematický vztah, že 16 = 2⁴.

To v praxi znamená, že přesně 4 bity (tzv. nibble) dokáží reprezentovat hodnoty od 0 do 15. A to je přesně rozsah jedné číslice v šestnáctkové soustavě! Můžeme tak čísla "překládat" znak po znaku bez nutnosti složitého dělení či násobení přes desítkovou soustavu.

HEX	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
BIN	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

HEX	BIN
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111

HEX	BIN
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Příklad: Dvojková ➔ Šestnáctková (Zprava doleva)

Zadání: 110101110₂
1. Rozdělíme na čtveřice zprava doleva: 1 1010 1110
2. Krajní levou skupinu doplníme nulami zleva na 4 bity: 0001 1010 1110
3. Přeložíme každou čtveřici podle tabulky: 1 A E
Výsledek: 1AE₁₆

Příklad: Šestnáctková ➔ Dvojková (Zleva doprava)

Zadání: 4F₁₆
1. Přeložíme znaky na přesně 4 bity: 4 = 0100, F = 1111
2. Spojíme: 01001111
3. Případné nuly úplně vlevo můžeme smazat: 1001111
Výsledek: 1001111₂